Projekt se zabývá hledáním spřátelených čísel (amicable numbers). Jedná se o projekt, za kterým nestojí žádná univerzita ani vědecká společnost, ale je to soukromý projekt Sergeje Černycha (Sergei Chernykh), administrátora a vývojáře projektu, kterému bych chtěl tímto poděkovat za čas, který věnoval mým dotazům.

Co jsou spřátelená čísla

Jsou to dvě přirozená čísla, pro která platí, že součet kladných dělitelů jednoho z nich (kromě jeho samotného), je roven druhému. Věta je trochu složitá a pro „nematematiky“ hůře představitelná. Proto se ji pokusím objasnit na příkladu nejmenších spřátelených čísel, která jsou 220 a 284.

220 = 1 x 220
220 = 2 x 110
220 = 4 x 55
220 = 5 x 44
220 = 10 x 22
220 = 11 x 20
220 = 20 x 11
220 = 22 x 10
220 = 44 x 5
220 = 55 x 4
220 = 110 x 2
Tedy : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

284 = 1 x 284
284 = 2 x 142
284 = 4 x 71
284 = 71 x 4
284 = 142 x 2
Tedy : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

Historie hledání spřátelených čísel *

Shrnu velice krátce historii hledání spřátelených čísel.
- První spřátelená čísla (220,284) nalezl více než 500 let před n.l. Pythagoras.
- Kolem roku 850 n.l. vytvořil arabský matematik Thabit Ibn Qurra formuli
p = 3×2n-1− 1,
q = 3×2n − 1,
r = 9×22n-1− 1,
kde n > 1 a p,q,r jsou prvočísla, pak 2n×p×q a 2n×r jsou spřátelená čísla.
Formule odpovídá pro n = 2 nejnižším spřáteleným číslům.
Jen na okraj, Thabit Ibn Qurra žádnou jinou dvojici nenašel.

- Výše uvedenou formuli zobecnil Leonhard Euler (1707-1783) následovně
p = (2n−m+ 1)×2m− 1,
q = (2n−m+ 1)×2n− 1,
r = (2n−m+ 1)2×2m+n− 1,
kde n>m>0 a p,q,r jsou prvočísla, pak 2n×p×q a 2n×r jsou spřátelená čísla.


Leonhard Euler

- Hledání spřátelených čísel se věnovalo spousta více či méně známých osobností. Za všechny jmenujme například Pierra Fermata, Marina Mersenna (někteří si možná vzpomenou na již ukončený projekt Mersenne@home), René Descarta nebo Niccola Paganiniho.
- Hledání spřátelených čísel se značně zrychlilo s příchodem výpočetní techniky.

Výsledky hledání spřátelených čísel

Zabývat se otázkou, kolik je v současné době známo spřátelených čísel, je zcela zbytečné, protože každý den se počet mění. Nejucelenější databázi jsem našel na adrese https://sech.me/ap/ (stránka projektu Amicable numbers), kam jsou v reálném čase doplňována data z projektu. Při pohledu do databáze najdete několik zajímavých faktů. Například:
- druhá nejmenší dvojice byla nalezena až v roce 1860 (1184 a 1210).
- Leonhard Euler (považován za nejlepšího matematika 18. století) věnoval hledání spřátelených čísel spoustu času. Nalezl třetí (2620 a 2924) i čtvrtou nejmenší dvojici (5020 a 5564) a mnoho dalších.
- Pro zajímavost sedmá nejmenší dvojce spřátelených čísle (12285, 14595) byla nalezena až v roce 1939. Což se v obrovském kontrastu s největší dvojicí čísel, která nalezl L. Eulera v roce 1750 - 1084730902983 a 1098689026617.
- do roku 1946 bylo známo 390 spřátelených čísel
- v době, kdy vznikal tento článek (prosinec 2020) bylo známo již několik tisíc spřátelených čísel, tvořených více než tisíci číslicemi. Nikoho asi nepřekvapí, že byla nalezena až po roce 2000 po rozmachu výpočetní techniky. Za historii hledání spřátelených čísel jich na konci roku 2020 bylo známo 1.226.503.000.

Minulost, současnost a budoucnost projektu Amicable Numbers

Začátek projektu je datován do roku 2017, kdy byl zároveň zařazen mezi projekty systému BOINC.  V lednu 2017 došlo ke spuštění beta verze, 30. ledna pak byla spuštěna ostrá verze. 1. července 2017 byla spuštěna aplikace „up to 10^20“, která, jak již napovídá název, hledala spřátelená čísla v rozsahu 10^20. V září 2019, po ukončení „up to 10^20“,  byla spuštěna aplikace „up to 10^21“, která  běží stále.

Jaká je budoucnost projektu? Dle sdělení Sergeje Černychova se v tuto chvíli neuvažuje s hledáním spřátelených čísel v rozsahu větším než 10^21. Prohledávání stávajícího rozsahu bylo rozděleno do tří fází. První fáze je již zpracována. Druhá fáze probíhá nyní. Její ukončení se předpokládá v červnu roku 2025. Lze se domnívat, že se tato doba zkrátí, jak bude růst výkon výpočetní techniky. Třetí fáze pak bude trvat déle než 1. a 2. dohromady.

Využití výsledků projektu

Dříve se spřátelená čísla používala k přípravě horoskopů, výrobě elixírů lásky a různých talismanů. Což ostatně přetrvalo dodnes.

        
Jak je již uvedeno v článku, tento výzkum započal již před staletími a to z čisté zvědavosti, zda takováto spřátelená čísla existují. Dále byl hnán touhou jich najít co nejvíce a do dnešní doby přetrval jednak z tohoto dlouhodobého neutuchajícího zájmu, tak také ze samotného zájmu o matematiku a její podivnosti. Nově objevená spřátelená čísla jsou v reálném časem zveřejňována v databázi na stránce projektu. Zde je může, dle vyjádření Sergeje, využít každý, jak chce. Sergej chce výsledky použít k analýze rozdělení spřátelených čísel.

Abych uvedl jeden názorný příklad teoretického využití, tak výsledky projektu nám snad pomohou pochopit funkci Divisor, která je popsána například v následujících článcích:
https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function
https://mathworld.wolfram.com/DivisorFunction.html

Ještě přidám odkazy z projektu na trochu teorie
- https://math.dartmouth.edu/~carlp/Amicable1.pdf
- https://math.dartmouth.edu/~carlp/Amicable2.pdf
- https://math.dartmouth.edu/theses/undergrad/2014/Nguyen-thesis.pdf   

Systémové nároky a kredit

Za nejdůležitější informaci považuji náročnost na operační paměť. Jedna úloha běžící na GPU si vezme 8 GB.  Proto, kdo by se chtěl zapojit do tohoto projektu, měl by mít na svém počítači  alespoň 16 GB operační paměti. Je to dáno mimo jiné i tím, že prvočísla <1011 musí být pro vyhledávání uložena v paměti.
Projekt lze počítat nejen na GPU ale i na CPU. Pokud projekt počítáte na CPU, běží jedna výpočetní jednotka na všech jádrech současně. Jednotka je vždy ohodnocena fixním kreditem 6839. Na GPU není tento projekt určen pro „credithuntery“ (lovce kreditu). Na mé NVIDIA GTX 1070 (4095 MB) trvá zpracování jedné jednotky v průměru 0,5 hodiny. Například na „koláčkách“ (projekt Collatz@home) dostanu několikanásobně více. Na CPU je situace trochu jiná. Mám i5-8400 2,8 GHz a zpracování jednotky trvá necelé 2 hodiny. Kreditem to tedy odpovídá projektu Asteroidu@home, který je na příděl kreditu za odvedenou práci velice štědrý. Nároky na operační paměť u jednotky běžící na CPU jsou nižší, ale velmi proměnlivé. V některých okamžicích se však blíží i 3 GB.
Za zmínku stojí, že maximální počet stažených jednotek pro GPU je pouze 20ks.

Medaile (badges)

Tento projekt má, nezvykle, dva druhy medailí. Jedny jsou za celkový dosažený kredit :
Bílé transparentní hvězdy: 100, 200, 500 tisíc
Bronzové hvězdy: 1, 2, 5 miliónů
Stříbrné hvězdy: 10, 20, 50 miliónů
Zlaté hvězdy: 100, 200, 500 miliónů
Velká zlatá hvězda: 1 miliarda

Druhé medaile jsou za počet nalezených dvojic spřátelených čísel :

Neexistuje žádný vztah mezi celkovým kreditem a počtem nalezených čísel.

Závěrem

Co napsat závěrem? Snad jen to, že projekt dává práci stabilně. Přejme si, ať to tak zůstane i nadále a popřejme projektu spoustu nalezených spřátelených čísel. V článku jsem chtěl popsat (vše velice krátce), co jsou to spřátelená čísla, velmi krátce historii hledání a současný stav. Vědecké bádání nechám na případném samostudiu čtenářů, kteří mohou případně později článek doplnit.

Návod na zapojení do projektu naleznete zde:=>

---------------------------------------------------------------

Autor:
Tomáš Svojanovský (Tatik)

* zdroj wikipedia.org
stránky projektu: https://sech.me/boinc/Amicable/

Rubrika:

Nahoru