"Jednoduchý" důkaz tvrzení. "there is no a such that a(9-1)/2 + 1 is divisible by 9". Česky - neexistuje takové celočíselné a, pro které je a4 + 1 dělitelné devíti.

1) Když si na osu celých čísel vyneseme násobky devíti, zjistíme, že mezi každými dvěma následujícími násobky devíti se nachází přesně osm čísel. Jinými slovy, každé celé číslo se dá napsat jako součet nějakého násobku devíti a čísla mezi 0 a 8, čemuž se na základní škole říká celočíselný zbytek po dělení 9.

2) Když je tedy a celé číslo, můžeme si ho napsat jako a = 9k + n, kde k je celé číslo a n je mezi 0 a 8.

3) Tedy a^4+1 = (9k+n)^4 + 1  = (9k+n)*(9k+n)*(9k+n)*(9k+n) + 1, a když si tohle roznásobíme a podíváme se na jednotlivé sčítance, zjistíme, že všechny jsou násobky 9 kromě sčítance n^4 + 1.
Při roznásobení závorek metodou každý s každým bude ve všech "roznásobencích" obsažena devítka nebo vyšší mocnina devítky, jen v posledním n*n*n*n nebude žádná devítka.)

4) To znamená, že a^4+1 je dělitelné 9 právě tehdy, když n^4 + 1 je dělitelné 9.

5) A protože n je číslo mezi 0 a 8, tak stačí ověřit, že n^4 + 1 není dělitelné 9 jen pro n mezi 0 a 8.

 
Nahoru